Autores:
o Rafael Ramírez Ucléso Ana Isabel Hidalgo Romero
o Víctor Manuel Toribio Sola
o José Luís Bueso Calero
o José Pérez Garrido
o Rus Hernández Rodríguez
Las actividades que se plantean dentro del taller Siempre pensando en Pi tienen como objetivo descubrir, a través de la manipulación, los primeros decimales del número Pi y su papel como constante de proporcionalidad, tanto entre la longitud de una circunferencia y su diámetro como entre el área del círculo y el cuadrado de su radio. Para ello, experimentamos realizando medidas de longitud y área en formas circulares, e introducimos el método que utilizó Arquímedes de Siracusa para aproximar los primeros decimales de Pi mediante el uso de polígonos regulares.
- Actividad 1. Pi como constante de proporcionalidad:
El número Pi es una constante de proporcionalidad entre la longitud de una circunferencia y su diámetro. Buscamos cualquier forma circular a nuestro alrededor, cuanto mayor sea su tamaño mejor: un hula hoop, círculos que dibujamos en el suelo con tiza y cinta de carrocero, círculos en campos de fútbol y canchas de baloncesto, etc.
Si utilizamos un hula hoop, es necesario marcar su diámetro utilizando cuerda o cinta de carrocero. Los participantes han de medir cuántas veces caben sus manos en el perímetro del hula hoop, y cuántas veces caben sus manos en el diámetro de este (Figura 1). A continuación, dividen el número de manos del perímetro entre el número de manos del diámetro, y dependiendo de la precisión con la que hayan medido, lo habitual es que obtengan un valor entre 2,9 y 3,2.
Si disponemos de formas circulares de gran tamaño en el suelo, como mosaicos, círculos de campos de fútbol o canchas de baloncesto, los utilizamos para medir cuántas veces caben nuestros pies en la longitud de la circunferencia y cuántas veces caben en el diámetro. De nuevo, dividimos la medida de la longitud entre la medida del diámetro, y obtenemos un número que se parecerá más a Pi cuanto mayor sea el tamaño del círculo y menor el tamaño de los pies utilizados. También podemos dibujar circunferencias de gran diámetro en el suelo utilizando cuerda y tiza para trazarlas y después pegar trozos de cinta de carrocero (Figura 2).
Con formas circulares más pequeñas que tengamos a mano, como tapaderas, tazas y vasos, botes de forma cilíndrica, etc., podemos utilizar cuerda para medir la longitud de la circunferencia, cortar dicho trozo de cuerda y comprobar cuántas veces puede plegarse ese trozo de cuerda sobre el diámetro de la circunferencia.
Esta actividad, llevada a cabo con alumnos de 6º de Primaria o 1º de ESO, les permite generalizar a partir de su propia experiencia que la relación constante entre la longitud y el diámetro es una propiedad de todas las circunferencias.
- Actividad 2. Botes de pelotas de pádel:
Los botes de pelotas de pádel o tenis habitualmente traen tres pelotas apiladas una sobre otra. Se pregunta a los participantes: a simple vista, ¿qué crees que mide más, la altura del bote de tres pelotas o la longitud/perímetro de su tapadera circular?
Cuando se presenta a los participantes esta actividad, es frecuente que de manera intuitiva digan que creen que mide más la altura del bote que el perímetro de la tapadera. Una vez que han dado su opinión, miden ambas medidas utilizando cinta métrica o cuerda y comprueban que es lo contrario, el perímetro de la tapa es algo mayor que la altura del bote.
La explicación es la siguiente: cada pelota tiene forma esférica y por tanto la altura de la pelota es el diámetro de una esfera. Este diámetro se parece mucho al diámetro de la tapadera circular, por lo que podemos asumir que son el mismo. Como hay tres pelotas de pádel apiladas una sobre otra, la altura total es tres veces la altura de una de ellas, es decir, tres veces el diámetro. El perímetro de la tapadera es la longitud de una circunferencia, que es igual a Pi veces el diámetro. Por tanto, como el número Pi es mayor que 3, Pi veces el diámetro es ligeramente mayor que tres veces el diámetro.
- Actividad 3. ¿Cuántas veces cabe el cuadrado dentro del círculo? Pi como constante de proporcionalidad entre el área del círculo y el cuadrado del radio:
Tenemos un juego de bloques multibase: dentro de un cuadrado caben 10 barritas, y dentro de cada barrita caben 10 cubos. Podemos considerar por tanto que el cuadrado representa 1 unidad, la barrita representa una décima parte del cuadrado y cada cubo representa una centésima parte del cuadrado.
Hemos dibujado un círculo cuyo radio mide lo mismo que el lado del cuadrado, y queremos averiguar cuántas veces cabe el cuadrado dentro del círculo. Como las barras y los cubos son divisiones del cuadrado, podemos utilizar todas estas piezas para rellenar el círculo con la mayor precisión posible (Figura 4). Cuando estemos satisfechos con la distribución de piezas con las que hemos rellenado el círculo, las contamos. Cada 10 barritas juntas son un cuadrado, y cada 10 cubos son una barrita. Si lo hacemos con mucha precisión, obtendremos que para rellenar el círculo hemos utilizado un total de 3 cuadrados y un poquito más. En teoría, podemos distribuir dentro del círculo al menos el equivalente a 3 cuadrados, 1 barrita y 4 cubos, es decir, 3,14 veces el cuadrado.
El lado del cuadrado vale lo mismo que el radio de la circunferencia, R, y el área del cuadrado es R al cuadrado. El área del círculo es Pi veces el radio R al cuadrado, por tanto el área del cuadrado cabe Pi veces dentro del círculo.
Una de las limitaciones que se presentan en esta actividad a la hora de obtener aproximaciones del número Pi es debida a la falta de precisión por no poder realizar divisiones del cuadrado más pequeñas que las centésimas. Como alternativa, se pueden dibujar cuadrados en cartulina y permitir que los participantes los corten en divisiones de menor tamaño.
- Actividad 4. ¿Hay más cantidad de pizza en las dos pizzas pequeñas juntas o en la pizza grande? Introducción al método de exhausción utilizado por Arquímedes para acotar el número Pi:
Tenemos pizzas de cartulina, una pizza grande de 9 cm de radio y dos pizzas pequeñas de 6 cm de radio cada una. La pregunta es, ¿dónde hay más cantidad de pizza, en las dos pequeñas juntas o en la grande? Esta pregunta viene motivada por la situación a veces observada en la vida real cuando queremos comparar si sale más rentable comprar una pizza de tamaño familiar o dos pizzas medianas. Algunas personas toman la decisión dividiendo el precio de la pizza entre el diámetro, lo que es un error porque, a igual grosor en las pizzas, la cantidad está determinada por el área de cada pizza. El área de un círculo depende del radio al cuadrado, y por tanto no se pueden comparar las cantidades utilizando medidas lineales como el radio o el diámetro.
Para poder comparar las pizzas de cartulina necesitamos conocer sus áreas, pero ¿y si no supiésemos la fórmula del área del círculo? Junto con las pizzas, tenemos varias parejas de polígonos regulares de cartulina, uno inscrito y otro circunscrito a la circunferencia de la pizza, tanto para la grande como para las pequeñas. Hay una pareja de pentágonos inscrito y circunscrito, una pareja de hexágonos, una pareja de octógonos, una pareja de decágonos y una pareja de dodecágonos (Figura 5).
Siempre podemos calcular fácilmente el área y el perímetro de un polígono regular, porque se puede descomponer en triángulos iguales. Por tanto, las medidas de área y perímetro vienen escritas en cada uno de los polígonos. Lo primero que se pregunta a los participantes es: ¿qué polígono utilizarías para aproximar la cantidad de pizza?
El área de la pizza es menor que el área del polígono circunscrito a ella, y mayor que el área del polígono inscrito. Es decir, ambos polígonos nos proporcionan una cota inferior y una cota superior para el valor del área. Cuanto mayor sea el número de lados del polígono, más cercanas están dichas cotas entre sí. Lo habitual es que los participantes, incluido niños de corta edad, elijan utilizar las parejas de dodecágonos, o polígonos de mayor número de lados si se les proporcionan, porque razonan que la forma del polígono es más parecida a la del círculo cuantos más lados tiene.
En las actividades realizadas, los participantes optaron por aproximar el área de cada una de las pizzas como el valor medio del área del dodecágono circunscrito y del dodecágono inscrito (Figura 6). Esta aproximación les permitía descubrir que, para el caso concreto de una pizza de 9 cm de radio y dos pizzas de 6 cm de radio cada una, hay más cantidad de pizza en la de mayor tamaño que en las dos pequeñas juntas.
Arquímedes de Siracusa aproximó los primeros cuatro decimales del número Pi utilizando el método de exhausción. Para ello, acotó la longitud de la circunferencia entre los perímetros de dos polígonos regulares, uno circunscrito y otro inscrito a la circunferencia, comenzando con un hexágono regular y doblando el número de lados del polígono en cada paso, hasta finalmente utilizar un polígono regular de 96 lados. Al dividir estos dos valores de perímetro entre el diámetro de la circunferencia, obtuvo una cota superior y una cota inferior para el número Pi. Puesto que para el polígono de 96 lados los primero decimales de ambos valores coincidían, ya había determinado los primeros decimales de Pi. De la misma forma, podemos acotar el área del círculo utilizando dichos polígonos y, dividiendo el área de los polígonos entre el radio de las circunferencias al cuadrado, obtener una aproximación de Pi.
Esta experiencia se puede realizar utilizando pizzas de cartulina de diferentes radios y polígonos regulares de mayor número de lados.
¿Qué se pretende demostrar?
- El taller Siempre pensando en Pi consiste en actividades manipulativas con las que se pretende que los asistentes descubran los primeros decimales del número Pi y algunas de sus propiedades. Se trata de actividades fácilmente implementables en el aula que permiten a los estudiantes familiarizarse con el número Pi mediante experiencias concretas de la realidad.
Dirigido a:
- Gran Público
- Primaria
- Secundaria
Materiales necesarios:
- Bloques multibase de base 10.
- Bote de tres pelotas de pádel o tenis.
- Hula hoops y otras formas circulares de gran tamaño de las que se pueda disponer, como círculos en canchas de baloncesto o campos de fútbol.
- Pizzas circulares de cartulina y polígonos regulares de cartulina.
- Cuerda, cinta de carrocero, cinta métrica.
Riesgos:
No existe ningún riesgo en la realización de estas actividades.
Enlaces:
Se puede visualizar un video de los talleres realizados en el siguiente enlace:
https://drive.google.com/open?id=10tbrg7-8_XgaUb_L-UFbHFlZ7bz4rm8u
Para saber más:
El canal de Youtube Numberphile cuenta con varios videos en inglés donde se explora el número Pi, sus aplicaciones y propiedades. https://www.youtube.com/watch?v=ZNiRzZ66YN0
Observaciones:
Las actividades descritas se pueden realizar con otros materiales similares fabricados en cartón o cartulina, goma eva, etc. Se recomienda aprovechar todas aquellas formas circulares que se encuentren en el entorno.
Galería de imágenes:
